Propriétés des inverses de matrices

Énoncé

Soit les matrices  $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$  et  $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 8& 2\end{array}\right)$ .

1. Calculer les déterminants de  $A$  et  $B$ .

2. Justifier que  $A$  et  $B$  sont inversibles et calculer  $A^{-1}$  et  $B^{-1}$ .

3. La matrice  $C=AB$  est-elle inversible ? Si oui, exprimer  $C^{-1}$  en fonction de  $A^{-1}$  et  $B^{-1}$ .

4. Soit $D$   la matrice égale à  $A+B$ .  $D$  est-elle inversible ?